Право руля

Если Вы не намерены передвигаться на таком квадроцикле по дорогам и бездорожью, то действительно никакие документы не требуются.

1. Да, потому что Вы предъявили документы, указывающие на принадлежность транспортного средства юридическому лицу. Однако при рассмотрении дела инспектор ДПС должен был установить, являетесь ли Вы штатным водителем предприятия и занимаетесь ли коммерческими перевозками пассажиров и грузов. А именно при таких условиях Вам требовался бы путевой лист.
2. Право собственности возникает с момента заключения договора купли-продажи. ГАИ не занимается подтверждением имущественных прав.
3. По ст. 19.22 КоАП РФ, но только в течение 60 дней после истечения 10-дневного срока, установленного для регистрации ТС. 

Регистрация - это подтверждение безопасности транспортного средства и допуска его к участию в дорожном движении. При несоответствии покрышек сезонным требованиям ТехРегамента могут в регистрации отказать.

1. Если Вы не предъявили договор купли-продажи и не доказали, что собственник изменился на физическое лицо, то может быть правомерно. Но опять-таки - правомерно только в том случае, если было доказано, что Вы являетесь штатным водителем юрлица, осуществляющим коммерческую перевозку пассажиров и грузов.
2. Право собственности возникает с момента заключения договора купли-продажи.
3. По ст. 19.22 КоАП РФ и презрение прежнего собственника, который за эти 3 месяца вынужден будет вместо Вас платить транспортный налог.

Не получится. Заключить договор страхования ОСАГО Вы можете хоть в первый день, хоть в десятый. Но зарегистрировать автомобиль в ГАИ можно ТОЛЬКО при наличии полиса ОСАГО.
P.S. Вы страхуете не автомобиль, а свою гражданскую ответственность. Страхование автомобиля - это КАСКО.

1. Если нет действующей диагностической карты, то (при наступлении срока) пройти ТО.
2. Заключить договор ОСАГО.
3. Представить машину в любое регистрационное отделение ГАИ (там же можно будет заплатить пошлину).
Подтверждать в ГАИ, что Вы являетесь собственником, не требуется. Более того, ГАИ не занимается подтверждением каких-либо имущественных прав.

Если нет действующей диагностической карты, то сначала надо пройти ТО. Затем заключить новый договор ОСАГО. Записаться на регистрацию машины в ЛЮБОМ ГАИ через сайт Госуслуг или явиться без записи, предварительно уточнив в ГАИ время приема. С Вашим гражданским паспортом, Паспортом транспортного средства (в нем должны быть заполнены строчки продавец=покупатель), Свидетельством о регистрации и машиной приехать в ГАИ и там же заплатить госпошлину. 

Заявление в банк о том, что Вы добросовестный приобретатель, не подтверждает добросовестность. И пока банк не обратился в суд, делать Вам что-либо не имеет смысла. А в суде надо будет предъявить выпису из залогового реестра. В этом случае суд должен будет отказать банку в удовлетворении иска.